Sistemi di numerazione

Il sistema di numerazione che utilizziamo è un sistema posizionale, in quanto usa lo stesso gruppo di simboli (dette cifre) per rappresentare i numeri, il cui valore dipende dalla posizione che la cifra stessa ha nel numero, con la posizione meno significativa più a destra.

Il sistema che usiamo è detto anche decimale perché le cifre sono 10, e vanno da 0 a 9: la posizione della cifra indica il suo valore in multipli di 10 in base alla sua posizione.

Ad esempio il numero 36143 si rappresenta indicando la posizione delle cifre:

4	3	2	1	0	Base
3	6	1	4	3	10

= 3*10⁴ + 6*10³ + 1*10² + 4*10¹ + 3*10⁰=36143₁₀

Il numero in questa forma è detto espresso in forma polinomiale.

Il sistema decimale non è l’unico possibile. 

Ad esempio è possibile utilizzare 5 cifre (da 0 a 4) per rappresentare un numero. Questo sistema è detto sistema quinario. In questo sistema 5 diventa 10, 25 diventa 100, 125 diventa 1000 e via andare. Le cifre seguono quindi la stessa regola:

4	3	2	1	0	Base
4	0	2	3	1	5

= 3*5⁴ + 6*5³ + 1*5² + 4*5¹ + 3*5⁰ = 2673₁₀

Allo stesso modo possiamo usare sistemi in qualsiasi base.

La base può anche essere superiore a 10. Ad esempio nel sistema esadecimale si usano i simboli 0..9 e poi si usano le lettere A,B,C,D,E,F dove A=10, B=11, e così via fino a F=15.

Ad esempio:

4	3	2	1	0	Base
4	C	A	3	0	16

= 4*16⁴ + C*16³ + A*16² + 3*16¹ + 0*16⁰ = 313904₁₀

La definizione generale è la seguente: 

dato un numero x in una base b, esso è composto da un gruppo di cifre c₀…c_n-1 che possono assumere un valore da 0 a b-1. Esso è convertibile in base 10 con la seguente espressione polinomiale:

c₀*b^n-1+ c₁*b^n-2+…+ c_n-1*b⁰ = n₁₀

Gli esempi sopra indicati rispettano tutti questa regola.

Sistema binario

In ambito informatico è particolarmente importante il sistema binario per memorizzare i numeri, in quanto è molto conveniente creare circuiti elettronici che memorizzano due valori possibili (che corrispondono a 0 e 1).

Un numero binario si rappresenta con la definizione generale vista sopra.

Quindi per esempio col numero 10011 in base 2 avremo:

4	3	2	1	0	Base
1	0	0	1	1	2

= 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 19₁₀

Proviamo però a fare la conversione opposta, cioè da decimale a binario.

L’algoritmo per convertire da decimale a binario un numero n è il seguente:

1. Si trova la potenza di 2 più grande tra quelle inferiori al numero n binario da convertire, che chiamiamo b. A questo punto comincia il ciclo:
2. Si divide n per b, il quoziente (che può essere 0 o 1) è una cifra del numero binario;
3. Si prende il resto e si ripete il punto 2;
4. Si esce quando il resto vale 0.

Proviamo un esempio con n=365, che ha come potenza massima inferiore a n=256

step	resto	potenza di 2	quoziente
1	365	256	1
2	109	128	0
3	109	64	1
4	45	32	1
5	13	16	0
6	13	8	1
7	5	4	1
8	1	2	0
9	1	1	1

Il numero sarà: 1011001101.